Determinación de una relación binaria por sus propiedades

 Las relaciones binarias pueden tener diferentes propiedades, al tener bien definido los conceptos de relación binaria y tuplas, podemos empezar a definir y ejemplificar cada una de las propiedades.

Reflexividad: La reflexivilidad son aquellos subconjuntos de relaciones de un mismo conjunto , donde sale el mismo par (a,a) que pertenecen a R.

La reflexividad es una propiedad que se puede dar en las relaciones binarias para definirlo mejor diremos que cada elemento está relacionado consigo mismo, un ejemplo podría ser el siguiente.

R1={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(c,c)}

R1= No es reflexiva porque no vemos que (b,b) pertenezca a R1.:(

Pero si

R2={(1,2),(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4}

Es reflexiva porque tiene a las parejas (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) entonces si cumplen que estas parejas están en R.

AntiReflexividad: La antireflexividad se puede decir que es lo contrario a reflexividad (aunque suene absurdo) puesto a que si ningún elemento en la que a pertenezca a A están relacionados, pues pasa que (a,a) no pertenece a R. Es decir, si un conjunto de Relación aparece al menos una pareja igual (a,a) entonces no es antireflexiva, pero si aparece parejas que no se parezcan, entonces es antireflexivo.

Ejemplo:

R1={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(c,c)}

No es ya que aparece (a,a) y por lo tanto no es antireflexiva.:(

Pero si

R2={(1,2),(3,4),(3,2),(1,3),(2,4),(1,3)}

Entonces si es antireflexiva porque no hay parejas que sean iguales.:)

Simetría: Nos encontramos que la simetría es una posible característica de las relaciones binarias, y para que se cumpla, deberá cumplir con la regla: (a,b) Є R y (b,a) Є R.

Es decir, la simetría nos va a dar visualmente parejas que al inicio están formados por (a,b) que pertenecen a R, entonces hay que voltear a esas parejas (b,a) para que pertenezcan a R. Es como si (a,b) se vieran con su malvado gemelo y ahora se ven como (b,a). Entonces, si una Relación está conformado por las parejas:

R1={(a,b),(a,c),(d,a)}

Pues no es simétrica debido a que ninguna pareja se ha encontrado con su malvado gemelo.

Pero si

R2={(a,a),(a,b),(b,a),(c,a),(a,c)}

Es simétrica ya que se encontraron a sus malvados gemelos, incluso (a,a) es asimismo su malvado gemelo, ya que recordemos que en un conjunto por extensión es irrelevante escribir al mismo elemento o parejas dos veces.

Transitividad: En palabras simples, la transitividad nos dice que (a,b) el b tiene que estar relacionado con otra pareja que tenga b al incio (b,c) pero un "resultado" es que a tiene que pasar en la conexión b para ahora formar una pareja c, teniendo ahora a (a,c).

Pero la definición formal es:

Ejemplo:

R1={(1,2),(2,1),(2,2)}

No es transitiva porque si bien (1,2),(2,1) se relacionan, pero no está una pareja (a,c) que lo cumpla.

Pero si

R2={(1,2),(2,1),(1,1)}

Si es transitiva porque (1,2),(2,1) tienen la forma (a,b) y (b,c) y se tiene que (1,1) pertenece a una relación de (a,c).

Antisimétrica: Las relaciones binarias antisimétricas son muy similares a las simétricas pero con una condición extra, por lo tanto su regla a cumplir será: (a,b) Є R y (b,a) Є R pero a=b.

Citando al libro de Matemáticas Discretas de la FC, tenemos que "Una relación es un subconjunto de AxA es antisimétrica si para todo a,b pertenecen a A se tiene que ((a,b) pertenecen a R y (b,a) pertenecen a R) entonces (a=b)"(Miranda & Viso, 2016).

Y si bien, tenemos que respetar la definición formal de antisimetría, no es conveniente verlo de esa manera, ya que lo veríamos como una simetría de parejas. Entonces, en palabras simples, podemos verlo como que a no es igual a b, entonces (a,b) no tiene que verse con un elemento que esté volteado (b,a) en la Relación.

Ejemplo

R1={(2,1),(1,2),(2,2)}

No es antisimétrica debido a que (2,1) está viendo a su malvado gemelo (1,2) y entonces 2=1 y 1=2 donde vemos que a=b.

Pero si

R2={(2,1),(3,2),(4,1),(5,1),(1,1)}

Entonces vemos que ninguna pareja está viendo a su gemelo malvado. A lo que si es antisimétrica.

Asimétrica: Esta parte la asimétrica sería lo opuesto a simetría donde (a,b) tenía que tener en el mismo conjunto a (b,a) ya que a=b, pero en este caso no, porque solamente hay que tener una pareja de (a,b) que pertenezca a R pero que no exista un (b,a) y que no tiene que tener relación con R.

Por ejemplo

R1={(1,2),(2,1),(3,3)}

No es antisimétrico debido a que (1,2) se encuentra con su inverso (2,1)

Pero si

R2={(1,2),(3,4),(2,3)}

Entonces si es antisimétrico debido a que no contienen a su pareja inversa dentro de la misma relación.

Tenemos un ejemplo un tanto curioso y es que una simetría puede ser una antisimétria al mismo tiempo como lo es la siguiente relación.

R1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

Por las explicaciones anteriores y definiciones que dimos anteriormente. Por lo que además podemos concluir que toda relación binaria antisimétrica es simétrica.