Dominio, Codominio, rango e Imagen de una relación binaria

Empezaremos a definir otros conceptos como lo son el Dominio, Codominio, Rango e Imagen.

Dominio: El dominio de podría entenderse como los elementos posibles en nuestro primer conjunto (En este caso A).

Para entenderlo mejor pondremos 2 conjuntos para poder visualizar de mejor manera  a los referimos:

Sean A y B conjuntos…

Por extensión:

A = {Fin, Jake}

B = {Gumball, Darwin}

Por comprensión:

A = {x l x es uno de los 2 personajes principales de Hora de Aventura}

A = {x l x es uno de los 2 personajes principales de El increíble mundo de Gumball}

AXB = {(Finn, Gumball),(Finn, Darwin),(Jake,Gumball),(Jake,Darwin)}

Teniendo en cuenta lo anterior, podríamos decir que el dominio son los 2 personajes principales de hora de aventura.

Por otro lado...

Codominio: Volviendo al ejemplo anterior, podemos definir también el codominio a los elementos del conjunto B, en este caso son Gumball y Darwin.

Dominio restringido: Lo podemos entender como al conjunto que tiene a los elementos que tienen relación con al menos algún elemento del conjunto y, en este caso el dominio restringido es el mismo que el dominio, debido a que tenemos un producto cartesiano y cualquier relación es subconjunto del producto cartesiano, por lo que el dominio restringido en este caso son Finn y Jake, si agregaramos al conjunto A a Bemmo y este no tuviera relación con algún elemento del conjunto B, entonces ya no sería un Dominio restringido.

Imagen: Puede ser definido como el subconjunto de elementos en B; en las que solo ciertos elementos de B tienen relación con algún elemento del conjunto A, como podrás imaginar en este caso volvemos a tener el mismo caso, cada elemento tiene una relación con algún elemento en el conjunto A, esto debido al producto cartesiano, por lo que nuevamente la imagen es igual a Darwin Y Gumball.

  

Entonces, tenemos que las Relaciones de los pares ordenados son los subconjuntos de AxB:

R⊆AxB

En un sentido más estricto con las definiciones, veremos como funciona de manera más "formal" con el siguiente ejemplo:

Sea X,Y conjuntos

X={a,b,c}

Y={",$,?,!}

XxY={(a,"),(a,$),(a,?),(a,!),(b,"),(b,$),(b,?),(b,!), (c,"),(c,$),(c,?),(c,!)}

Entonces el dominio, rango, dominio restringido e imagen de la relación de pares ordenados son:

Dominio (R): X

Rango: Y

Dominio restringido: Siguiendo con la siguiente definición...

X={(x)|(x,y)∈R para alguna y∈B}

Entonces:

Dominio restringido: Todos los elementos de X, al menos en este caso. 

Imagen: Y={(x)|(y,x)∈R para algun y∈X} Entonces, en este caso son todos los elementos de Y.